Метод уравнений Кирхгофа

Уравнения Кирхгофа являются основными соотношениями, на которых базируются расчеты сложных электрических цепей.


Метод уравнений КирхгофаПусть имеется разветвленная сеть проводов, на различных участках которой находятся генераторы постоянного напряжения и резисторы с известными ЭДС
Ek  и сопротивлениями Rk (k= 1, 2, 3,…).Такая сеть называется цепью постоянного тока (рис. 1). Ставится задача: рассчитать токи на каждом участке этой цепи*. Такую задачу можно решить с помощью двух правил (уравнений) Кирхгофа.

Первое правило относится к узлам цепи и утверждает следующее: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е.

                    Метод уравнений Кирхгофа                            (1)

При этом токам, «входящим в узел», условно приписывается знак «+», а «выходящим» − знак «−». Это правило означает то, что заряды в узле не накапливаются: «сколько входит, столько и выходит»; оно следует из закона сохранения электрического заряда.

Второе правило Кирхгофа относится к любому выделенному в цепи контуру и утверждает следующее: алгебраическая сумма напряжений на всех элементах произвольного контура (кроме генераторов) равна алгебраической сумме ЭДС генераторов, встречающихся в этом контуре, т. е.

                                   Метод уравнений Кирхгофа                                (2)

Напряжение иk= ikRk на элементе Rk считается положительным, если выбранное направление обхода данного контура совпадает с выбранной стрелкой тока через данный элемент; ЭДС Ek считается положительной, если выбранное направление обхода контура совпадает со стрелкой ЭДС данного генератора. Это правило следует из основного свойства электростатического поля: циркуляция электростатического поля по любому контуру равна нулю.

Правила Кирхгофа (1) и (2) позволяют написать полную систему линейных алгебраических уравнений, из которой можно однозначно определить токи на всех участках цепи. Практически последовательность составления таких уравнений следующая.

1. На всех участках цепи указать стрелками «направления» токов (стрелки токов наносятся прямо на линию провода). Вообще говоря, стрелки токов можно наносить как попало, их нет нужды угадывать. А вот знаки слагаемых в уравнениях Кирхгофа пишутся уже строго под выбранные стрелки. И если в результате вычислений окажется, что какой-либо ток ik< 0, то он и будет отрицательным по отношению к данной стрелке.

Замечание. Ток – это не вектор, а алгебраический скаляр. Стрелка же тока указывает лишь условно положительное направление его вычисления.

2. Выбрав контур, обходить его в определенном направлении, например, по часовой стрелке. Если очередная стрелка тока ik при обходе совпадает с этим направлением, то соответствующее слагаемое в левой сумме (2) пишется со знаком «+», т. е. «+ikRk», а иначе – «−ikRk». Аналогичное правило знаков применяется и для стрелок ЭДС Ekв правой части (2).

3. Если цепь содержит N узлов, то независимых уравнений типа (1) будет (N−1). Уравнения типа (2) должны учитывать все независимые контуры цепи, т. е. такие, которые нельзя образовать наложением друг на друга контуров, уже вошедших в уравнения (2). В качестве независимых удобно выбирать «простые» контуры, т. е. не содержащие в себе других контуров.

Пример. Найти токи через резисторы R1, R2 иR3 в цепи, показанной на рис.2, если все Ek и Rkизвестны.

Решение. Расставляем произвольно стрелки токов i1, i2 и i3 на всех участках. Так как независимый узел только один, то и уравнений типа (1) также будет одно:


Метод уравнений Кирхгофаi
1 + i2 i3 = 0.

Из трех возможных контуров (I, IIи III), берем, например, I и II; контур III зависим, так как он образуется наложением I и II. Задаем в этих контурах произвольные направления обходов, например, по часовой стрелке, и записываем для них уравнения типа (2) с учетом правила знаков:

i1R1 i2R2 = E1 E2,

i2R2 + i3R3 = E2 E3.

Таким образом, имеем систему трех уравнений для трех искомых токов. Знаки полученных токов покажут, совпадают ли они с выбранными на рис. 2 стрелками, или противоположны им.

Для достаточно сложных цепей правила Кирхгофа приводят к слишком большим системам уравнений. В связи с этим, были разработаны более эффективные методы расчета цепей, которые хотя и базируются на правилах Кирхгофа, но дают значительно меньшее число уравнений. К таким методам относятся метод узловых потенциалов и метод контурных токов.

     Изначально мне показалось, что аналитического примера будет достаточно, но все же для полного понимания материала статьи давайте я выложу пример в полном виде, и так:

      Проставим все токи в ветвях в произвольном направлении и выберем направление обхода в независимых контурах I и II, например, против часовой стрелки.

Расчет:

         Составим для узла 1 уравнение по первому закону Кирхгофа и для контуров I и II уравнения по второму закону Кирхгофа:

Метод уравнений Кирхгофа

Метод уравнений Кирхгофа

                          Баланс мощности сошёлся, значит и расчеты верны.

 

        Возможно Вам будет полезна следующая статья по теме:

 


*Участком называется фрагмент цепи между двумя узлами, не содержащий других узлов. Узел − это точка цепи, в которой сходятся три или более проводов.

EXMO affiliate program
 

Если статья вам понравилась, вы можете отблагодарить автора нажав на кнопку социальной сети