Однородная линия с утечкой

Пусть очень длинная (полубесконечная) однородная двухпроводная линия проходит в слабопроводящей среде с погонной проводимостью утечки    Однородная линия с утечкой. Это означает, что сопротивление утечки на каждом километре длины линии Rут= 1/G= 105 Ом = 100 кОм (например, воздух очень сырой или слегка ионизирован). Тогда, на отрезке линии dx ток утечки

diут = udG= ugdx,

где u= u(х) – напряжение в данном сечении линии.

И пусть погонное сопротивление проводов линии γ = dR/dx = 0,1 Ом/км (это пара медных проводов диаметром около 22 мм). Тогда, на отрезке dx напряжение в линии падает на величину

du= idR= iγdx.

Пусть к началу линии приложено напряжение u0 = 10 кВ. Определить:

1. Напряжение между проводами u(x) по мере удаления от начала линии.

2. Какой ток i0 будет в начале линии?

3. Закон убывания тока в проводах i(х) по мере удаления от начала линии.

3. Каково сопротивление линии R0 на её входе?

4. На каком расстоянии х напряжение в линии уменьшится вдвое?

Замечание 1. В качестве единицы длины линии будем брать километр.

Замечание 2. Погонные параметры однородной двухпроводной линии – её погонное сопротивление γ и её погонная проводимость утечки g– легко рассчитываются через её геометрию по известным формулам:

γ = R/l,

где R= 2ρl/S – сопротивление пары проводов линии длиной l, S – сечение провода, ρ – удельное сопротивление материала провода. Таким образом

                                                                 γ = 2ρ/S.                                                     (1)

Погонное сопротивление утечки R0 ут.(Ом/км) двухпроводной линии, проложенной в безграничной слабопроводящей среде выражается через её погонную ёмкость С0 (Ф/км) известной формулой:

Однородная линия с утечкой

где λ – проводимость среды (не путать с погонной проводимостью утечки g), ε0 = 8,85·10−12 Ф/м – электрическая постоянная. Следовательно,

Однородная линия с утечкой

     Сама же погонная ёмкость двухпроводной линии

Однородная линия с утечкой

        где  r – радиус проводов линии,

          d – расстояние между проводами. Таким образом, погонная проводимость утечки

                                                                                   Однородная линия с утечкой                                                     (2)

Формулы (1) и (2) и выражают погонные параметры линии через её геометрию и характеристики материалов – удельное сопротивление провода и проводимость среды.

Приступим к решению задачи. Эквивалентная схема полубесконечной линии с утечкой показана на рис. 1.

Однородная линия с утечкой

 

Выделим мысленно малый элемент линии dх (рис. 2). И пусть в сечении линии х напряжение равно и, а ток (продольный ток) равен i. Тогда убыли напряжения и тока вдоль линии будут такими

       −du= idR= iγdx       – это падение напряжения на элементе линии dx,

di = udG = ugdx   – это ток утечки на элементе линии dx.

Деля левые и правые части этих уравнений на dx, получаем пару уравнений, связывающих токи и напряжения в линии:

                                                                                        Однородная линия с утечкой                                                           (3)

  Легко видеть, что эта система даёт одно обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно, например, напряжения:

                                                                                              Однородная линия с утечкой,                                                      (4)

    где

                  Однородная линия с утечкой

    Известно, что общее решение уравнения (4) имеет вид

                                                                                            Однородная линия с утечкой                                               (5)

    где коэффициенты А и В определяются граничными условиями, т. е. напряжениями на концах линии. А так как линия полубесконечная, то граничное условие для неё только одно: и(0)=и0. Подстановка его в (5) даёт:

                                                                  А+В=и0.                                                                        (6)

   Но коэффициент В следует положить равным нулю, иначе, в силу (5), напряжение вдоль линии будет неограниченно расти, чего физически не должно быть. Таким образом, В = 0, А = и0, и решением уравнения (4) будет функция:

                                                                    и=и0е−αх.                                                                      (7)

Теперь из первого уравнения системы (3) получаем закон убывания тока в проводах линии с утечкой:

                                                                               Однородная линия с утечкой.                                                     (8)

Из (8) видно, что:

1) ток в начале линии Однородная линия с утечкой

2) сопротивление полубесконечной линии в её нулевом сечении

          Однородная линия с утечкой

Из (7) следует, что напряжение между проводами линии уменьшается в 2 раза, т. е.Однородная линия с утечкой

Замечание. Из (7) видно, что параметр 1/α показывает, на каком расстоянии от начала напряжение в линии уменьшается в е=2,718 раз. В данном случае это расстояние равно 1000 км.

EXMO affiliate program
 

Если статья вам понравилась, вы можете отблагодарить автора нажав на кнопку социальной сети